有符号整数的三种编码方式：原码、反码和补码

在计算机中，原码、反码、补码 是用于表示有符号整数的三种编码方式，主要用于解决二进制数的 正负表示 和 加减运算 问题。它们的核心区别在于 符号位的处理 和 负数的表示方法。

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原码（Sign-Magnitude）

定义

• 最高位（最左边的一位）表示符号：
  • 0 表示正数（如 +5）
  • 1 表示负数（如 -5）
• 其余位表示数值的绝对值。

示例（8位二进制）

十进制	原码表示（8位）
+5	0000 0101
-5	1000 0101

特点

✅ 直观：和人类书写习惯一致（正负号+数值）。
❌ 问题：

1. +0 和 -0 不唯一：
   • +0 = 0000 0000
   • -0 = 1000 0000（计算机无法区分）
2. 加减运算复杂：
   • 需要额外判断符号位，硬件实现麻烦。

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反码（Ones’ Complement）

定义

• 正数：和原码相同。
• 负数：在原码基础上，符号位不变，数值位取反（0→1，1→0）。

示例（8位二进制）

十进制	反码表示（8位）
+5	0000 0101
-5	1111 1010

十进制运算	反码计算	反码计算结果（十进制）
1 +（-1）= 0	[0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原	-0
1 +（-2）= -1	[0000 0001]反 + [1111 1101]反 = [1111 1110]反 = [1000 0001]原	-1
-1 +（2）= 1	[1111 1110]反 + [0000 0010]反 = [0000 0000]反（溢出） = [0000 0000]原	0（溢出归0）

从上表可以看出，如果用反码直接进行计算，虽然有所改善，但仍有问题，所以计算机中的运算也不能直接用反码。

特点

仍然存在 +0 和 -0 问题

• +0 = 0000 0000
• -0 = 1111 1111（仍然无意义）

运算仍需调整：

• 加减法后可能需要 “循环进位”（如 1 + (-1) = 0000 0001 + 1111 1110 = 1111 1111（-0），需要额外加 1 修正）。

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补码（Two’s Complement）⭐（现代计算机标准）

定义

• 正数：和原码相同。
• 负数：在反码基础上 +1（即 原码取反 + 1）。

示例（8位二进制）

十进制	补码表示（8位）
+5	0000 0101
-5	1111 1011

计算 -5 的补码

1. +5 原码 = 0000 0101
2. 取反 = 1111 1010（反码）
3. +1 = 1111 1011（补码）

举个例子，如果是8位的二进制数：

[+1] = [0000 0001]原 = [0000 0001]反 = [0000 0001]补

[-1] = [1000 0001]原 = [1111 1110]反 = [1111 1111]补

[-2] = [1000 0010]原 = [1111 1101]反 = [1111 1110]补

十进制运算	补码计算	补码计算结果（十进制）
1 +（-1）= 0	[0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补 = [0000 0000]原	0（溢出位舍弃）
1 +（-2）= -1	[0000 0001]补 + [1111 1110]补 = [1111 1111]补 = [1111 1110]反 = [1000 0001]原	-1
-1 +（2）= 1	[1111 1111]补 + [0000 0010]补 = [0000 0001]补 = [0000 0001]原	1（溢出位舍弃）

从上表可以看出，如果使用补码进行计算，就可以正常的进行加法算术运算了。

特点

✅ 解决所有问题：

1. +0 和 -0 统一：

   • +0 = 0000 0000
   • -0 ：原码 1000 0000 → 反码 1111 1111 → 补码 0000 0000（和 +0 相同）。

2. 加减法直接运算：

   • 5 + (-3) = 0000 0101 + 1111 1101 = 0000 0010（2，正确）。

3. 表示范围更大：

   • 8位补码范围：-128（1000 0000）~ +127（0111 1111），比原码/反码多一个数（-128）。

那么至此，总结两个非常重要的结论：

1. 正数的原码反码补码是一致的，负数的反码是原码除符号位取反，补码是反码+1。
2. 计算机中有符号整数的存储方式都是以补码的形式存储的，运算也是以补码的形式计算的。

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三种编码对比（8位二进制）

十进制	原码	反码	补码
+5	0000 0101	0000 0101	0000 0101
-5	1000 0101	1111 1010	1111 1011
+0	0000 0000	0000 0000	0000 0000
-0	1000 0000	1111 1111	0000 0000
-128	无法表示	无法表示	1000 0000

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为什么计算机使用补码

1. 统一 +0 和 -0，避免歧义。
2. 加减法可以直接运算，无需额外判断符号。
3. 硬件实现简单，CPU 只需加法器，无需额外电路。
4. 表示范围更大（如 8 位补码可表示 -128~127，而原码/反码只能 -127~127）。

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常见问题

补码 1000 0000 代表多少

• 在 8 位补码中，1000 0000 表示 -128（没有对应的原码/反码）。

补码的运算溢出怎么办

• 例如 127 + 1 = 0111 1111 + 0000 0001 = 1000 0000（-128，溢出）。
• CPU 会设置 溢出标志位（OF），由程序员处理。

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总结

编码	优点	缺点	适用场景
原码	直观	±0 问题，运算复杂	早期计算机（已淘汰）
反码	改进负数表示	±0 仍存在，运算需调整	过渡方案（基本不用）
补码	无 ±0 问题，运算简单	负数计算稍复杂	现代计算机标准

补码是计算机存储和处理有符号整数的 最优方案，理解它对于学习 计算机组成原理、编程（如整数溢出）、逆向工程 都至关重要！